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Entdeckendes Lernen

Die Welt der Mathematik selbst entdecken

Beim entdeckenden Lernen im Mathematikunterricht erforschen Schüler mathematische Zusammenhänge und Prinzipien selbstständig und gelangen so zu einem tieferen und vernetzteren Verständnis.

Entdeckendes Lernen: Die Welt der Mathematik selbst entdecken Auch mit Würfeln lassen sich mathematische Fragestellungen erforschen © fotomek - Fotolia.com

Wenn Schüler über ihre Mathematiklehrer sprechen, dann hört man häufig den Satz: „Ich bin froh, dass ich Mathe bei Herrn Müller habe. Der kann so gut erklären.“ Dieses Lob freut sicherlich jeden Lehrer. Es suggeriert aber auch einen unvollständigen Blick auf die Anforderungen an guten Mathematikunterricht. Es beruht auf der Vorstellung, dass im Mathematikunterricht lediglich fertige Ergebnisse geliefert werden, die der Lehrer nur verständlich genug präsentieren muss, damit die Schüler sie verstehen.

In der Mathematikdidaktik besteht allerdings Konsens darüber, dass es von zentraler Bedeutung ist, das die Schüler selber ein Verständnis von mathematischen Begriffen entwickeln. (Leuders, Timo: Perspektiven von Mathematikunterricht. In: Leuders, Timo (Hrsg.): Mathematik-Didaktik. Praxis-Handbuch für die Sekundarstufe I und II. Berlin 2003, S. 36).

Zusammenhänge und Prinzipien selbst entdecken

Es besteht also ein Spannungsfeld zwischen Steuerung und Instruktion durch die Lehrkraft sowie Selbstständigkeit und Eigeninitiative durch die Schüler. In diesem Spannungsfeld bietet die Öffnung des Mathematikunterrichts für die Prinzipien des entdeckenden Lernens konkrete fachspezifische Vorteile.

Anders als bei einem rein instruktivem Unterricht werden den Schülern hier nicht nur starres Wissen und Rezepte präsentiert. Indem sie Zusammenhänge und Prinzipien selber entdecken, sind ein tieferes Verständnis und eine umfassendere Vernetzung zu erwarten. In der Konsequenz können die Schüler das so Entdeckte später flexibler anwenden.

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Wie man durch eine Postkarte steigt — mathematische Experimente

Mathematik zum Anfassen! — Festvortrag Albrecht Beutelspacher

Entdeckendes Lernen mit GeoGebra am Tablet — Vortrag von Hubert Pöchtrager

Mathematik entdecken — Shortcut mit Hubert Pöchtrager

Unterrichtserfahrungen zeigen beispielsweise, dass Schüler bis in höhere Klassen oft Schwierigkeiten bei der Anwendung der Flächeninhaltsformeln für Dreiecke, Parallelogramme und Trapeze haben. Oft haben sie diese Formeln nach der entsprechenden Klassenarbeit schnell wieder vergessen, oder es fällt ihnen schwer, diese im Rahmen komplexerer Aufgaben und Probleme zielführend zu verwenden.

Strategien fürs Problemlösen entwickeln

Hier erscheint eine Unterrichtsreihe, die an der Leitidee des entdeckenden Lernens ausgerichtet ist, sinnvoll. Mithilfe der Zerlegung und Ergänzung können die Schüler aus bekannten Figuren neue erzeugen und so entdecken, wie sich aus der Flächeninhaltsformel für das Rechteck die Formel für das Parallelogramm ergibt. Dieses Vorgehen erlaubt es den Schülern auch, ein besseres Verständnis für die Wahl der Grundseite und der entsprechenden Höhe zu entwickeln. Außerdem steht es sinnbildlich für eine typische Vorgehensweisen in der Mathematik: Neue Probleme werden in Teilprobleme zerlegt und auf bekannte und bereits gelöste Probleme zurückgeführt.

Dieses Beispiel deutet an, dass das entdeckende Lernen auch mit einer Förderung prozessbezogener Kompetenzen wie dem Problemlösen, dem mathematischen Argumentieren sowie der Anwendung fachspezifischer „Werkzeuge“ einhergeht. Dies wird auch deutlich, wenn man die Erarbeitung der Aussage und des Beweises des Satz des Thales betrachtet. Die einfache, aber für Schüler immer wieder verblüffende Aussage des Satzes können die Schüler durch das Anfertigen eigener Zeichnungen schnell entdecken. Dieses „Aha-Erlebnis“ motiviert dann auch, eine Begründung für diese Fragestellung zu entwickeln. Das Interesse am Beweis ist geweckt und auch die Durchführung gelingt leichter, wenn die Schüler bereits mit dem Satz und seinen Voraussetzungen vertraut sind.

Geometrie als anschauliches Forschungsobjekt

Aufgrund der Möglichkeiten zur Veranschaulichung eignet sich die Geometrie am augenscheinlichsten, um entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht umzusetzen. Mit etwas Kreativität und Ausdauer lassen sich aber auch für andere Themengebiete Möglichkeiten zur Umsetzung des entdeckenden Lernens finden.

In der Stochastik können die Schüler die Eigenschaften von Laplace-Experimenten entdecken, indem sie „faire“ und „unfaire“ Würfel- oder Münzwurfspiele entwickeln. Auch mehrstufige Zufallsexperimente lassen sich so untersuchen. Der Zusammenhang zwischen Funktionsgraphen, Wertetabellen und Funktionsgleichungen lässt sich mithilfe von realen Experimenten, denen lineare Zusammenhänge zugrunde liegen, erarbeiten. Die Schüler können beispielsweise die abnehmende Kerzenlänge bei fortdauernder Brenndauer untersuchen.

Entdeckendes Lernen braucht Zeit

Schon diese wenigen Beispiele machen deutlich, dass man einen Großteil des Mathematikunterrichts an der Leitidee des entdeckenden Lernens ausrichten kann. Im Idealfall werden dadurch fach- und prozessbezogene Kompetenzen langfristiger und flexibler gesichert.

Doch auch das Konzept des entdeckenden Lernens bringt Probleme mit sich. Zum einen zeigt die Erfahrung im Unterricht, dass Entdeckung mehr Zeit benötigt als Instruktion. Dem steht allerdings oft der Zeitdruck durch straffe Lehrpläne, Lernstandserhebungen und zentrale Prüfungen entgegen. Hier gilt es abzuwägen, für welche Inhalte man sich diese Zeit nehmen möchte, und welche eher zeitsparend erarbeitet werden.

Auch ist darauf zu achten, dass die Schüler im entdeckenden Mathematikunterricht nicht überfordert werden. Viele mathematische Probleme, die heute zum Unterrichtskanon gehören, wurden von den großen Denkern ihrer Zeit gelöst. Wir können nicht davon ausgehen, dass die Schüler in wenigen Stunden ebenso jedes mathematische Problem weitgehend selbstständig entdecken und lösen können.

Der Lehrer muss letztendlich ein Gleichgewicht zwischen entdeckenden und gesteuerten Phasen finden und sich bei der Unterrichtsplanung immer wieder die Frage stellen, welche Gegenstände sich in besonderem Maße für das entdeckende Lernen eignen. Solche Gegenstände sollten natürlich für die Schüler mit dem bereits vorhandenen Vorwissen in einer angemessenen Zeit lösbar sein und es sollte durch die Auseinandersetzung mit ihnen auch tatsächlich etwas zu entdecken geben. Am Ende muss entdeckender Mathematikunterricht immer zu einer tieferen und allgemeineren Erkenntnis führen.

Michael Grambusch

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